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【技术:Python算法】025共轭梯度

发布时间：2023-11-21 00:28:07
共轭梯度

   

当你需要解决一个线性方程组时，共轭梯度提供了一种很快速的方法。
这是一个很聪明的想法，设函数 F=L2(X',X0)^2，这是标准解 X'（不一定正确）和 真实解 X0 的平方L2函数，这个函数是抛物线形的，并且最好的情况是他的最小值在原点（这将也是一个解）。在这种情况下，我们将用一个又一个 X' 垂直去往每条轴线，直到得到 X0。
虽然情况并非如此，但真实的情况也没有太大不同，与最好的情况相反，共轭梯度垂直于特征向量传播，从而产生了和上述相同的效果。
只需要记住，你的矩阵需要是正定的，如果不是这样的，使用 (A’A)x=(A’b) 转换，这也能解决超定和欠定系统。
    
import numpy as npdef conjugate_gradients(A, b):    x = np.zeros(A.shape[1])    residuals = b - A @ x    direction = residuals    error = residuals.T @ residuals    # step along conjugate directions    while error > 1e-8:        x += direction * error / (direction.T @ A @ direction)        residuals = b - A @ x        error1 = error        error = residuals.T @ residuals        direction = residuals + error / error1 * direction    return x

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